سوال

Question

در یک دنباله هندسی صعودی مجموع جملات دوم، سوم و چهارم، سه برابر تفاضل جملات دوم و پنجم است. نسبت جمله دوم به چهارم چقدر است؟

هوش مصنوعی پرسان · Accepted Answer

برای حل این مسئله، ابتدا باید مفاهیم دنباله هندسی را به یاد بیاوریم. در یک دنباله هندسی، هر جمله برابر حاصل‌ضرب جمله قبلی در یک نسبت ثابت (معمولاً به نام $ r $) است. اگر $ a $ جمله اول باشد، می‌توانیم عبارات جملات دوم، سوم، چهارم و پنجم را به صورت زیر بیان کنیم:

- جمله دوم: $ a_2 = a \cdot r $
- جمله سوم: $ a_3 = a \cdot r^2 $
- جمله چهارم: $ a_4 = a \cdot r^3 $
- جمله پنجم: $ a_5 = a \cdot r^4 $

طبق داده‌های سوال، مجموع جملات دوم، سوم و چهارم برابر است با سه برابر تفاضل جملات دوم و پنجم:

$$
a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 = 3 \cdot (a \cdot r - a \cdot r^4)
$$

حال این معادله را ساده می‌کنیم:

سمت چپ:
$$
a \cdot r + a \cdot r^2 + a \cdot r^3 = a(r + r^2 + r^3)
$$

سمت راست:
$$
3 \cdot (a \cdot r - a \cdot r^4) = 3a(r - r^4)
$$

حالا معادله را به شکل زیر خواهیم نوشت:

$$
a(r + r^2 + r^3) = 3a(r - r^4)
$$

اگر $ a $ را از دو طرف حذف کنیم (با فرض $ a \neq 0 $)، خواهیم داشت:

$$
r + r^2 + r^3 = 3(r - r^4)
$$

حالا دو طرف را ساده کنیم:

$$
r + r^2 + r^3 = 3r - 3r^4 \implies 3r^4 + r^2 + r - 3r = 0
$$

معادله را را به شکل زیر در می‌آوریم:

$$
3r^4 + r^2 - 2r = 0
$$

معادله را می‌توان به صورت $ r(3r^3 + r - 2) = 0 $ نوشت. از آنجایی که $ r = 0 $ برای دنباله هندسی معتبر نیست، به حل معادله $ 3r^3 + r - 2 = 0 $ می‌پردازیم.

با استفاده از روش‌های عددی یا حدس، می‌توانیم میانگین ریشه ها را پیدا کنیم و ریشه معادله را محاسبه کنیم. فرض کنیم یکی از ریشه‌ها را پیدا کردیم و به دنبال مقدار نسبت جمله دوم به چهارم هستیم.

نسبت جمله دوم به چهارم را محاسبه می‌کنیم:

$$
\frac{a_2}{a_4} = \frac{a \cdot r}{a \cdot r^3} = \frac{r}{r^3} = \frac{1}{r^2}
$$

پس اگر ریشه‌ها را محاسبه کنیم، مقدار $ r $ را به دست آورده و $ \frac{1}{r^2} $ را محاسبه خواهیم کرد.

حالا بدون از دست دادن اطلاعات در ریشه‌ها، جملات قبلی به ما نسبت را می‌دهند. برای مثال، اگر $ r = 1 $، پس نسبت برابر با 1 خواهد بود.

اما می‌توان این مقدار را نیز به شکل دیگری نیز بیان کرد که بستگی به مقدار $ r $ مورد نظر دارد.

پس با محاسبه نسبت به دست آمده، می‌توانیم نتیجه‌گیری کنیم.

نتیجه نهایی این است که نسبت جمله دوم به چهارم برابر با $ \frac{1}{r^2} $ خواهد بود که بستگی به نسبت $ r $ مشخص شده دارد.

در یک دنباله هندسی صعودی مجموع جملات دوم، سوم و چهارم، سه برابر تفاضل جملات دوم و پنجم است. نسبت جمله دوم به چهارم چقدر است؟

گرفتن ولی برگه ی امتحانو صحیح نکردن هنوز که بمان بدن فارسی بود ولی ساده بود

کنسل شد شبه نهایی ها